Matematica

                                                              Polinom

Definiţie:Se numeşte polinom o sumă algebrică de două sau mai multe monoame
Exemple:
X³-2X²+5, 2X⁴-7X³+X

Tipuri de polinoame:
Polinoamele de gradul I în X sînt de forma P(X ) = aX + b
Polinoamele de gradul II în X sînt de forma  P( X )= aX² + bX + c
Polinoamele de gradul III în X sînt de forma  P( X) = aX³ + bX² + cX + d

Coeficienţii polinomului sînt coeficienţii termenilor săi. Polinomul ai cărui coeficienţi sînt egali cu 0 se numeşte polinomul nul. Polinomul nul se notează cu 0. Polinomul care nu are nedeterminate se numeşte polinom constant.
Termenul care nu conţine nedeterminată se numeşte termen liber.
Un polinom cu doi termeni se numeşte binom, iar cu trei termeni – trinom.

Un polinom de o nedeterminată este scris în forma canonică  dacă termenii lui se succed în ordinea descrescătoare a gradelor lor. Un polinom are o singură formă canonică. Polinoamele cu aceeaşi formă canonică sînt egale. Gradul maxim al monoamelor unui polinom se consideră gradul polinomului. Gradul polinomului P(X) se notează grad P(X). Pentru polinomul nul gradul nu se defineşte.

Proprietăţi ale adunării polinoamelor :

1. Comutativitatea: P(X ) + Q(X ) = Q(X ) + P(X ) pentru orice polinoame P(X), Q(X). 
2. Asociativitatea: (P(X ) + Q(X )) + R(X ) = P(X ) + (Q(X ) + R(X )) pentru orice polinoame P(X), Q(X), R(X).
3. Polinomul nul este element neutru la adunarea polinoamelor: P(X ) + 0 = P(X ) pentru orice polinom P(X).
4. Orice polinom P(X) are opusul său –P(X): P(X ) + (−P(X )) = 0

Proprietăţi ale înmulţirii polinoamelor

1.  Comutativitatea: P(X )⋅Q(X ) = Q(X )⋅ P(X ) pentru orice polinoame P(X), Q(X).
2.  Asociativitatea: (P(X )⋅Q(X ))⋅ R(X ) = P(X )⋅(Q(X )⋅ R(X )) pentru orice polinoame P(X), Q(X), R(X).
3.  Produsul oricărui polinom cu polinomul nul este polinomul nul: P(X )⋅ 0 = 0 pentru orice polinom P(X).
4.  Polinomul 1 este element neutru la înmulţirea polinoamelor: P(X )⋅1=1⋅ P(X ) pentru orice polinom P(X).
5.  Înmulţirea polinoamelor este distributivă faţă de adunare (scădere): P(X )(Q(X ) ± R(X )) = P(X)⋅Q(X ) ± P(X )⋅ R(X ) pentru orice polinoame P(X ), Q(X ), R(X ).

Teorema 1 .Fie polinoamele P(X) şi Q(X), Q(X) ≠ 0, cu coeficienţi numere reale. Atunci există polinoamele C(X) şi R(X), astfel încît: a) P(X ) = Q(X )⋅C(X ) + R(X ), unde R(X ) = 0 sau grad R(X) < gradQ(X ); b) polinoamele C(X) şi R(X) sînt unic determinate.

Teorema 2 . Restul împărţirii unui polinom P(X) la binomul X −α este egal cu valoarea numerică a acestui polinom pentru X =α, adică R(X ) = P(α)

Pagina Principala
Pagina precedenta